【分布列和数学期望公式格式】在概率论与数理统计中，分布列和数学期望是描述随机变量特征的重要工具。分布列用于刻画随机变量所有可能取值及其对应的概率，而数学期望则反映了随机变量的平均表现。以下是对这两部分内容的总结，并通过表格形式进行清晰展示。
一、分布列
定义：
分布列是指对于一个离散型随机变量 $ X $，列出其所有可能取值 $ x_1, x_2, \ldots, x_n $ 及其对应概率 $ P(X = x_i) $ 的列表。
基本性质：
1. 每个概率值 $ P(X = x_i) \geq 0 $
2. 所有概率之和为 1，即：
$$
\sum_{i=1}^{n} P(X = x_i) = 1
$$
常见类型：
- 二点分布（伯努利分布）
- 二项分布
- 泊松分布
- 几何分布
二、数学期望
定义：
数学期望（Expected Value），记作 $ E(X) $ 或 $ \mu $，表示随机变量在大量重复试验中取值的平均趋势。
计算公式：
对于离散型随机变量 $ X $，其数学期望为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X = x_i)
$$
意义：
数学期望可以理解为在长期实验中，随机变量的“平均结果”。
三、分布列与数学期望关系
| 随机变量 | 分布列 | 数学期望 |
| 二点分布 | $ P(X=0)=1-p, P(X=1)=p $ | $ E(X) = p $ |
| 二项分布 | $ P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ E(X) = np $ |
| 泊松分布 | $ P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ E(X) = \lambda $ |
| 几何分布 | $ P(X=k) = (1-p)^{k-1} p $ | $ E(X) = \frac{1}{p} $ |
四、应用举例
假设有一个随机变量 $ X $ 的分布列为：
| X | 0 | 1 | 2 |
| P | 0.2 | 0.5 | 0.3 |
则其数学期望为：
$$
E(X) = 0 \times 0.2 + 1 \times 0.5 + 2 \times 0.3 = 0 + 0.5 + 0.6 = 1.1
$$
五、总结
分布列是研究随机变量的基础，它揭示了变量的取值规律；而数学期望则是对这一规律的量化表达，常用于风险评估、决策分析等领域。两者结合使用，能够更全面地理解和分析随机现象。
通过表格形式展示，不仅便于记忆，也提高了信息的可读性与逻辑性。掌握这些基础知识，有助于进一步学习概率统计中的高级内容。
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