【导数的除法公式推导】在微积分中，导数是研究函数变化率的重要工具。对于两个可导函数的商（即除法）的导数，我们可以通过基本的导数规则进行推导。以下是关于导数的除法公式的详细推导过程及其总结。
一、导数的除法公式
设函数 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 都是可导函数，且 $ g(x) \neq 0 $，则它们的商 $ \frac{f(x)}{g(x)} $ 的导数为：
$$
\left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}
$$
这个公式称为商法则，是求解两个函数相除后导数的基本方法。
二、推导过程
1. 定义函数的商：
设 $ h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} $
2. 使用导数的定义：
$$
h'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{h(x + \Delta x) - h(x)}{\Delta x}
$$
3. 代入表达式：
$$
h'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{f(x + \Delta x)}{g(x + \Delta x)} - \frac{f(x)}{g(x)}}{\Delta x}
$$
4. 通分并整理分子：
$$
= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x)g(x) - f(x)g(x + \Delta x)}{\Delta x \cdot g(x + \Delta x)g(x)}
$$
5. 拆分分子项：
$$
= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x)g(x) - f(x)g(x) + f(x)g(x) - f(x)g(x + \Delta x)}{\Delta x \cdot g(x + \Delta x)g(x)}
$$
6. 分别计算两项的极限：
$$
= \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}
$$
三、公式总结
| 公式名称 | 表达式 | 说明 |
| 商法则 | $ \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} $ | 用于求两个可导函数之商的导数 |
| 适用条件 | $ g(x) \neq 0 $ | 分母不能为零 |
| 推导方法 | 利用导数的定义和极限运算 | 基本原理为极限与差商的结合 |
四、应用示例
例如，若 $ f(x) = x^2 $，$ g(x) = x + 1 $，则：
- $ f'(x) = 2x $
- $ g'(x) = 1 $
根据商法则：
$$
\left( \frac{x^2}{x + 1} \right)' = \frac{2x(x + 1) - x^2 \cdot 1}{(x + 1)^2} = \frac{2x^2 + 2x - x^2}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x + 1)^2}
$$
五、总结
导数的除法公式（商法则）是微积分中的核心内容之一，它为处理函数的商提供了系统的方法。通过推导过程可以理解其背后的数学逻辑，而表格形式的总结则有助于快速掌握关键信息。在实际问题中，灵活运用该公式能够有效简化复杂的导数计算。
以上就是【导数的除法公式推导】相关内容，希望对您有所帮助。
