【《拉氏变换常用公式》】在工程数学与系统分析中，拉普拉斯变换（Laplace Transform）是一种非常重要的工具，广泛应用于控制理论、信号处理、电路分析以及微分方程的求解中。通过拉氏变换，可以将时域中的微分方程转换为复频域中的代数方程，从而简化问题的求解过程。
为了方便学习和应用，以下整理了一些拉氏变换中常见的基本函数及其对应的变换公式，这些公式是进行拉氏变换计算的基础，也是理解和掌握该方法的关键内容。
一、基本函数的拉氏变换
1. 单位阶跃函数
$ u(t) = \begin{cases}
0 & t < 0 \\
1 & t \geq 0
\end{cases} $
其拉氏变换为：
$$
\mathcal{L}\{u(t)\} = \frac{1}{s}, \quad \text{Re}(s) > 0
$$
2. 指数函数
$ f(t) = e^{at} $
拉氏变换为：
$$
\mathcal{L}\{e^{at}\} = \frac{1}{s - a}, \quad \text{Re}(s) > \text{Re}(a)
$$
3. 正弦函数
$ f(t) = \sin(\omega t) $
拉氏变换为：
$$
\mathcal{L}\{\sin(\omega t)\} = \frac{\omega}{s^2 + \omega^2}, \quad \text{Re}(s) > 0
$$
4. 余弦函数
$ f(t) = \cos(\omega t) $
拉氏变换为：
$$
\mathcal{L}\{\cos(\omega t)\} = \frac{s}{s^2 + \omega^2}, \quad \text{Re}(s) > 0
$$
5. 幂函数
$ f(t) = t^n $，其中 $ n $ 为非负整数
拉氏变换为：
$$
\mathcal{L}\{t^n\} = \frac{n!}{s^{n+1}}, \quad \text{Re}(s) > 0
$$
6. 单位脉冲函数（狄拉克δ函数）
$ f(t) = \delta(t) $
拉氏变换为：
$$
\mathcal{L}\{\delta(t)\} = 1
$$
二、拉氏变换的性质
1. 线性性质
若 $ \mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) $，$ \mathcal{L}\{g(t)\} = G(s) $，则对任意常数 $ a $ 和 $ b $，有：
$$
\mathcal{L}\{af(t) + bg(t)\} = aF(s) + bG(s)
$$
2. 微分性质
若 $ f(t) $ 可导，则：
$$
\mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0^-)
$$
3. 积分性质
若 $ f(t) $ 在 $ t=0 $ 处连续，则：
$$
\mathcal{L}\left\{\int_0^t f(\tau) d\tau\right\} = \frac{F(s)}{s}
$$
4. 初值定理
$$
\lim_{t \to 0^+} f(t) = \lim_{s \to \infty} sF(s)
$$
5. 终值定理
$$
\lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{s \to 0} sF(s)
$$
三、常见函数的拉氏变换表（简要）
| 函数 $ f(t) $ | 拉氏变换 $ F(s) $ |
|----------------|--------------------|
| $ u(t) $| $ \frac{1}{s} $ |
| $ e^{at} $| $ \frac{1}{s - a} $ |
| $ \sin(\omega t) $ | $ \frac{\omega}{s^2 + \omega^2} $ |
| $ \cos(\omega t) $ | $ \frac{s}{s^2 + \omega^2} $ |
| $ t^n $ | $ \frac{n!}{s^{n+1}} $ |
| $ \delta(t) $ | $ 1 $ |
四、总结
拉氏变换作为一种强大的数学工具，能够将复杂的微分方程转化为易于求解的代数表达式。掌握其基本公式与性质，不仅有助于理解系统行为，还能提升实际工程问题的解决效率。对于初学者而言，熟练记忆并灵活运用上述常用公式，是迈向深入学习拉氏变换的重要一步。
希望本文能为您的学习或研究提供一定的参考与帮助。
