【中职数学:第二章一元二次不等式及其解法】在中职数学的学习过程中，一元二次不等式是代数部分的重要内容之一。它不仅是对一元二次方程的延伸，更是解决实际问题时常用的工具。本章将围绕一元二次不等式的定义、基本形式以及求解方法展开讲解，帮助同学们掌握这一知识点，并能够灵活运用。

一、一元二次不等式的定义

一元二次不等式是指只含有一个未知数（即“一元”），并且未知数的最高次数为2（即“二次”）的不等式。其一般形式如下：

$$

ax^2 + bx + c > 0 \quad \text{或} \quad ax^2 + bx + c < 0

$$

其中 $ a \neq 0 $，$ a $、$ b $、$ c $ 为常数。此外，不等号还可以是“≥”或“≤”。

二、一元二次不等式的解法步骤

解一元二次不等式的核心思想是利用二次函数的图像来判断不等式的解集。具体步骤如下：

1. 将不等式化为标准形式

例如：将 $ x^2 - 5x + 6 < 0 $ 化为标准形式。

2. 求出对应的二次方程的根

即解方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $，得到两个实数根 $ x_1 $ 和 $ x_2 $（若判别式 $ D = b^2 - 4ac \geq 0 $）。

3. 根据二次函数图像分析不等式解集

- 当 $ a > 0 $（抛物线开口向上）：

- 若不等式为 $ ax^2 + bx + c > 0 $，则解集为 $ x < x_1 $ 或 $ x > x_2 $

- 若不等式为 $ ax^2 + bx + c < 0 $，则解集为 $ x_1 < x < x_2 $

- 当 $ a < 0 $（抛物线开口向下）：

- 若不等式为 $ ax^2 + bx + c > 0 $，则解集为 $ x_1 < x < x_2 $

- 若不等式为 $ ax^2 + bx + c < 0 $，则解集为 $ x < x_1 $ 或 $ x > x_2 $

4. 注意边界值是否包含

如果不等式中含有等号（如“≥”或“≤”），则需要将对应的根加入解集中。

三、典型例题解析

例题1：解不等式 $ x^2 - 4x + 3 < 0 $

解：

1. 解方程 $ x^2 - 4x + 3 = 0 $

判别式 $ D = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 3 = 16 - 12 = 4 $

所以 $ x = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} $

得到两个根：$ x_1 = 1 $，$ x_2 = 3 $

2. 因为 $ a = 1 > 0 $，抛物线开口向上

不等式为 $ < 0 $，所以解集为 $ 1 < x < 3 $

答： 解集为 $ (1, 3) $

例题2：解不等式 $ -2x^2 + 4x - 2 \geq 0 $

解：

1. 先两边同乘以 -1，注意不等号方向改变：

$ 2x^2 - 4x + 2 \leq 0 $

2. 解方程 $ 2x^2 - 4x + 2 = 0 $

判别式 $ D = (-4)^2 - 4 \times 2 \times 2 = 16 - 16 = 0 $

所以有一个重根：$ x = \frac{4}{4} = 1 $

3. 因为 $ a = 2 > 0 $，抛物线开口向上

不等式为 $ \leq 0 $，且只有一个点满足，所以解集为 $ x = 1 $

答： 解集为 $ \{1\} $

四、总结

一元二次不等式的解法主要依赖于二次函数的图像和根的位置关系。通过理解抛物线的开口方向与不等式符号的关系，可以快速找到解集。在实际应用中，这种不等式常用于描述范围、优化问题等，具有较强的实用性。

希望同学们通过本章的学习，能够熟练掌握一元二次不等式的解法，并在今后的学习和生活中灵活运用。