【高中数学二项式定理经典练习题专题训练(含答案)】在高中数学的学习过程中，二项式定理是一个非常重要的知识点，广泛应用于多项式的展开、组合数的计算以及一些实际问题的分析中。掌握好这一部分内容，不仅有助于提升数学思维能力，还能为后续学习概率、排列组合等知识打下坚实的基础。
本文将围绕“二项式定理”展开，精选一系列经典练习题，并附有详细解答，帮助学生巩固基础知识，提高解题技巧。
一、二项式定理的基本内容
二项式定理是用于展开形如 $(a + b)^n$ 的表达式的公式，其形式如下：
$$
(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k
$$
其中，$C_n^k = \frac{n!}{k!(n - k)!}$ 是组合数，表示从 $n$ 个不同元素中取出 $k$ 个元素的方式数目。
二、经典练习题及解析
题目1：
求 $(x + 2)^5$ 展开式中第3项的系数。
解析：
根据二项式定理，$(x + 2)^5$ 的展开式为：
$$
\sum_{k=0}^{5} C_5^k x^{5 - k} \cdot 2^k
$$
第3项对应 $k = 2$，即：
$$
C_5^2 \cdot x^{5 - 2} \cdot 2^2 = 10 \cdot x^3 \cdot 4 = 40x^3
$$
所以，第3项的系数为 40。
题目2：
已知 $(1 + x)^{10}$ 展开式中，某一项的系数为 $C_{10}^5$，问该该项是第几项？
解析：
$(1 + x)^{10}$ 的通项为：
$$
T_{k+1} = C_{10}^k x^k
$$
若某项的系数为 $C_{10}^5$，则 $k = 5$，对应的项是第 $5 + 1 = 6$ 项。
因此，该项是第 6 项。
题目3：
求 $(2x - 3)^7$ 展开式中，常数项是多少？
解析：
通项为：
$$
T_{k+1} = C_7^k (2x)^{7 - k} (-3)^k = C_7^k \cdot 2^{7 - k} \cdot (-3)^k \cdot x^{7 - k}
$$
要使该项为常数项，需满足 $x^{7 - k} = x^0$，即 $7 - k = 0$，解得 $k = 7$。
代入得：
$$
T_8 = C_7^7 \cdot 2^0 \cdot (-3)^7 = 1 \cdot 1 \cdot (-2187) = -2187
$$
所以，常数项为 -2187。
题目4：
求 $(x + \frac{1}{x})^6$ 展开式中 $x^2$ 的系数。
解析：
通项为：
$$
T_{k+1} = C_6^k x^{6 - k} \left(\frac{1}{x}\right)^k = C_6^k x^{6 - 2k}
$$
令 $6 - 2k = 2$，解得 $k = 2$。
代入得：
$$
C_6^2 \cdot x^2 = 15x^2
$$
因此，$x^2$ 的系数为 15。
三、总结与建议
通过上述练习题可以看出，二项式定理的应用范围广泛，关键在于理解通项公式的形式，并能灵活运用组合数进行计算。建议同学们在学习时注意以下几点：
1. 熟练掌握组合数的计算方法；
2. 能够准确识别通项中的指数变化；
3. 多做练习题，增强对公式的理解和应用能力。
参考答案：
1. 第3项系数为 40
2. 第6项
3. 常数项为 -2187
4. $x^2$ 的系数为 15
通过不断练习和总结，相信你一定能够在二项式定理的相关题目中取得优异的成绩！
