【中职数学拓展模块2.2.2双曲线的几何性质教案教学设计人教版】一、教学目标

1. 知识与技能目标：

使学生掌握双曲线的标准方程，理解双曲线的基本几何性质，包括焦点、顶点、实轴、虚轴、渐近线等，并能根据方程画出双曲线的大致图形。

2. 过程与方法目标：

通过对比椭圆与双曲线的几何性质，引导学生归纳总结双曲线的特征，培养学生的类比思维能力和数形结合的思想。

3. 情感态度与价值观目标：

激发学生对数学的兴趣，增强其探索意识和合作学习能力，体会数学在实际生活中的应用价值。

二、教学重点与难点

- 重点： 双曲线的标准方程及其几何性质。

- 难点： 理解双曲线的渐近线概念及其与双曲线的关系。

三、教学准备

- 教师准备：多媒体课件、几何画板软件、黑板、粉笔、练习题。

- 学生准备：预习教材第2.2.2节内容，准备好笔记本和直尺。

四、教学过程

1. 导入新课（5分钟）

教师通过展示生活中常见的双曲线实例，如喷泉的水流轨迹、桥梁结构、天文望远镜的反射镜面等，引发学生兴趣。接着回顾椭圆的定义及标准方程，引出双曲线的概念，引导学生思考“双曲线与椭圆有什么异同”。

2. 新知讲解（20分钟）

（1）双曲线的定义

引导学生回忆双曲线的定义：平面内到两个定点的距离之差为常数的点的轨迹叫做双曲线。强调该常数必须小于两定点之间的距离。

（2）双曲线的标准方程

介绍两种形式的双曲线方程：

- 横轴型：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

- 纵轴型：$\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$

并说明参数 $a$、$b$ 的意义。

（3）双曲线的几何性质

逐项讲解以下

- 顶点：横轴型双曲线的顶点为 $(\pm a, 0)$，纵轴型为 $(0, \pm a)$。

- 焦点：横轴型焦点为 $(\pm c, 0)$，纵轴型为 $(0, \pm c)$，其中 $c^2 = a^2 + b^2$。

- 实轴与虚轴：实轴是连接两个顶点的线段，虚轴是垂直于实轴的线段。

- 渐近线：双曲线的渐近线是两条直线，分别对应方程：

- 横轴型：$y = \pm \frac{b}{a}x$

- 纵轴型：$y = \pm \frac{a}{b}x$

教师使用几何画板动态演示双曲线的变化，帮助学生直观理解渐近线的作用。

3. 合作探究（10分钟）

将学生分成小组，每组完成以下任务：

- 根据给定的双曲线方程，求出其顶点、焦点、渐近线，并画出图像。

- 对比椭圆与双曲线的几何性质，写出它们的异同点。

教师巡视指导，适时给予提示和反馈。

4. 巩固练习（10分钟）

出示几道典型例题，如：

- 已知双曲线方程 $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$，求其顶点、焦点、渐近线。

- 判断下列方程是否为双曲线，并指出其类型。

学生独立完成，教师讲评。

5. 小结与作业（5分钟）

- 小结：回顾本节课的主要知识点，强调双曲线的几何性质及其与椭圆的区别。

- 作业：完成教材P78页相关习题，并尝试绘制一个双曲线的图形。

五、板书设计

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双曲线的几何性质

1. 定义：到两定点距离之差为常数的点的轨迹

2. 标准方程：

- 横轴型：x²/a² - y²/b² = 1

- 纵轴型：y²/a² - x²/b² = 1

3. 几何性质：

- 顶点、焦点、实轴、虚轴

- 渐近线：y = ±(b/a)x 或 y = ±(a/b)x

```

六、教学反思（教师课后填写）

本节课通过引入生活实例，激发了学生的学习兴趣；通过对比椭圆与双曲线，加深了学生对双曲线的理解。但在讲解渐近线时，部分学生仍存在理解困难，需在后续教学中加强图示分析和练习。

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备注： 本教案适用于中职数学拓展模块第二章第二节“双曲线的几何性质”，依据人教版教材编写，符合当前职业教育课程改革方向。