在工程力学与振动分析中，固有频率是一个非常重要的概念。它指的是一个系统在没有外力作用的情况下，仅依靠自身弹性或惯性特性所表现出的自然振动频率。理解并掌握固有频率的计算方法，对于结构设计、机械系统优化以及故障诊断等方面都具有重要意义。

一、什么是固有频率？

固有频率是系统在自由振动时的固有特性，通常用符号“f₀”表示，单位为赫兹（Hz）。不同的系统，如弹簧-质量系统、梁结构、悬臂结构等，其固有频率的计算方式各不相同。但它们的共同点在于，固有频率主要取决于系统的质量分布和刚度特性。

二、常见系统的固有频率公式

1. 单自由度弹簧-质量系统

这是最基础的模型，适用于简化的机械系统。其固有频率公式为：

$$

f_0 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}

$$

其中：

- $ f_0 $ 是固有频率；

- $ k $ 是弹簧的刚度系数；

- $ m $ 是质量。

2. 悬臂梁的弯曲振动

对于一根一端固定、另一端自由的悬臂梁，其第一阶固有频率可近似表示为：

$$

f_0 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{3EI}{mL^3}}

$$

其中：

- $ E $ 是材料的弹性模量；

- $ I $ 是截面惯性矩；

- $ m $ 是单位长度的质量；

- $ L $ 是梁的长度。

3. 简支梁的弯曲振动

对于两端简支的梁，其第一阶固有频率公式为：

$$

f_0 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{\pi^2 EI}{mL^4}}

$$

此处的参数含义与悬臂梁类似。

三、影响固有频率的因素

- 质量：质量越大，固有频率越低。

- 刚度：刚度越高，固有频率越高。

- 几何形状：结构的长度、截面形状等都会对固有频率产生影响。

- 边界条件：不同的支撑方式（如固定、简支、自由）会显著改变系统的固有频率。

四、实际应用中的注意事项

在实际工程中，固有频率的计算往往需要考虑多种因素，例如材料的非线性、阻尼效应、外部载荷等。因此，单纯的理论公式可能无法完全反映真实情况，通常需要借助有限元分析（FEA）等数值方法进行更精确的模拟和计算。

此外，在设计过程中，应尽量避免系统的工作频率与固有频率重合，以防止共振现象的发生，从而造成结构损坏或设备失效。

五、总结

固有频率是衡量系统动态特性的关键参数之一。通过合理选择质量和刚度，可以有效地控制系统的振动行为。无论是机械设计、建筑结构还是电子设备，掌握固有频率的计算方法都是不可或缺的基础知识。在实际应用中，结合理论分析与实验验证，才能确保系统的安全性和稳定性。