第四章核心知识点回顾
在进入具体习题解答之前，我们先对第四章的核心知识点进行简要回顾。本章主要探讨了向量的基本运算及其在空间几何中的应用，包括向量的线性组合、点积与叉积、平面方程及直线方程等。这些基础知识不仅构成了后续章节学习的基石，也贯穿于实际问题的建模与求解之中。
习题解析
练习题1：向量的线性组合
题目描述
已知两个向量$\vec{a}=(1,2,3)$和$\vec{b}=(4,5,6)$，求它们的线性组合$2\vec{a}-3\vec{b}$。
解析过程
根据向量加法和数乘法则，首先计算每个分量上的结果：
- $x$分量：$2 \cdot 1 - 3 \cdot 4 = 2 - 12 = -10$
- $y$分量：$2 \cdot 2 - 3 \cdot 5 = 4 - 15 = -11$
- $z$分量：$2 \cdot 3 - 3 \cdot 6 = 6 - 18 = -12$
因此，向量的线性组合为$(-10,-11,-12)$。
练习题2：平面方程的建立
题目描述
给定三点$A(1,0,0)$、$B(0,1,0)$、$C(0,0,1)$，求通过这三点的平面方程。
解析过程
首先确定平面的法向量$\vec{n}$，可以通过向量$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$的叉积得到：
$$
\overrightarrow{AB} = (-1,1,0), \quad \overrightarrow{AC} = (-1,0,1)
$$
$$
\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
-1 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 1
\end{vmatrix}
= (1,1,1)
$$
于是平面方程可表示为$x + y + z = d$。代入任意一点坐标，例如$A(1,0,0)$，得$d=1$。最终平面方程为$x + y + z = 1$。
练习题3：直线与平面的交点
题目描述
直线$L: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{3} = \frac{z-2}{4}$与平面$\pi: x + 2y - z = 5$相交，求交点坐标。
解析过程
设参数$t$表示直线上点的位置，则直线的参数方程为：
$$
x = 2t + 1, \quad y = 3t - 1, \quad z = 4t + 2
$$
将上述表达式代入平面方程$x + 2y - z = 5$中，得到：
$$
(2t + 1) + 2(3t - 1) - (4t + 2) = 5
$$
化简后解得$t = 2$。将其代回参数方程，即可求得交点坐标$(5, 5, 10)$。
总结
通过对第四章习题的系统解析，我们可以看到解析几何的魅力在于其严密的逻辑性和广泛的应用场景。希望本文提供的详尽解答能够帮助大家更好地理解和掌握相关知识。如果您还有其他疑问或需要进一步的帮助，请随时联系我！
