在数学学习中，完全平方公式是一个基础且重要的知识点，它不仅在代数运算中占有重要地位，还广泛应用于几何、物理等领域。完全平方公式的形式如下：

\[

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

\]

\[

(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

\]

这两个公式是解决许多复杂问题的关键工具。为了帮助大家更好地掌握和运用这些公式，以下是一些典型的变形练习题，旨在通过实际操作加深理解。

练习题一：基本应用

1. 将以下表达式化简为完全平方形式：

\[

x^2 + 6x + 9

\]

2. 展开并简化：

\[

(3y - 4)^2

\]

练习题二：逆向思维

3. 已知 \( m^2 + n^2 + 2mn = 100 \)，求 \( (m+n)^2 \) 的值。

4. 若 \( p^2 - q^2 = 48 \)，且 \( p-q = 4 \)，求 \( p+q \) 的值。

练习题三：综合运用

5. 化简并验证：

\[

\left( \frac{x}{2} + \frac{1}{x} \right)^2

\]

6. 解方程：

\[

(x-3)^2 = 16

\]

提示与解答

在解题过程中，注意观察公式的结构特征，灵活调整变量或参数的位置。例如，在第一题中，可以将 \( x^2 + 6x + 9 \) 视作 \( (x+3)^2 \)，从而快速得出答案。而在第二题中，则需严格按照公式展开，确保每一项都准确无误。

对于逆向思维的题目，如第三题，可以通过分解因式的方法找到突破口；第四题则需要结合已知条件进行推导，最终利用平方差公式解决问题。

希望以上练习题能够帮助大家巩固完全平方公式的知识，并提高其实际应用能力。熟练掌握这一公式后，你会发现它在后续的学习中会变得得心应手！