【概率密度函数的定义】概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）是描述连续型随机变量的概率分布的一种数学工具。与离散型随机变量的概率质量函数不同，概率密度函数并不直接给出某个具体值的概率，而是用于计算在某一区间内随机变量取值的概率。
概率密度函数在概率论和统计学中具有重要的理论和应用价值，常用于描述正态分布、指数分布、均匀分布等常见的连续型分布模型。
一、概率密度函数的基本定义
设 $ X $ 是一个连续型随机变量，若存在一个非负函数 $ f(x) $，使得对于任意实数 $ a < b $，有：
$$
P(a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f(x) \, dx
$$
则称 $ f(x) $ 为 $ X $ 的概率密度函数。
二、概率密度函数的性质
| 性质 | 描述 |
| 非负性 | 对所有 $ x $，都有 $ f(x) \geq 0 $ |
| 归一性 | $ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1 $ |
| 概率计算 | $ P(a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f(x) \, dx $ |
| 期望值 | $ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx $ |
| 方差 | $ \text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 $ |
三、常见分布的概率密度函数
| 分布名称 | 概率密度函数 $ f(x) $ | 定义域 |
| 正态分布 | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ (-\infty, +\infty) $ |
| 均匀分布 | $ f(x) = \frac{1}{b-a} $ | $ [a, b] $ |
| 指数分布 | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} $ | $ x \geq 0 $ |
| 伽马分布 | $ f(x) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\beta x} $ | $ x \geq 0 $ |
四、总结
概率密度函数是描述连续型随机变量概率分布的重要工具。它不直接给出某一点的概率，而是通过积分来表示在某一区间内的概率。理解其性质和应用场景，有助于更好地分析和建模现实世界中的随机现象。在实际应用中，概率密度函数常用于统计推断、机器学习、信号处理等领域。
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