【奥数试题及答案】在数学的世界中，奥数一直以其独特的逻辑性和挑战性吸引着无数热爱数学的学生。奥数试题不仅考验学生的计算能力，更注重思维的灵活性和解题策略的运用。今天，我们带来一组精心设计的奥数试题，并附上详细的解答过程，帮助你更好地理解其中的奥秘。
一、选择题（每题5分）
1. 若 $ a + b = 7 $，且 $ ab = 12 $，则 $ a^2 + b^2 = $（ ）
A. 25
B. 30
C. 35
D. 40
2. 一个正整数 $ x $ 满足 $ x \div 3 $ 余 2，$ x \div 4 $ 余 1，那么最小的 $ x $ 是（ ）
A. 5
B. 7
C. 11
D. 13
3. 在一个等差数列中，第3项为10，第8项为25，那么第10项是（ ）
A. 30
B. 32
C. 35
D. 37
二、填空题（每题5分）
4. 若 $ x + y = 5 $，$ x - y = 1 $，则 $ x = $ ______，$ y = $ ______。
5. 一个长方形的周长是24厘米，面积是32平方厘米，那么它的长是______厘米，宽是______厘米。
三、解答题（每题10分）
6. 甲、乙两人同时从A地出发去B地，甲的速度是每小时6公里，乙的速度是每小时4公里。甲到达B地后立即返回，结果在距离B地3公里处与乙相遇。求A、B两地之间的距离。
7. 已知 $ a^2 + b^2 = 25 $，$ ab = 12 $，求 $ a + b $ 的值。
四、参考答案
一、选择题
1. A. 25
解析：利用公式 $ a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 7^2 - 2×12 = 49 - 24 = 25 $
2. C. 11
解析：设 $ x = 3k + 2 $，代入 $ x \equiv 1 \mod 4 $，得 $ 3k + 2 \equiv 1 \mod 4 $，即 $ k \equiv 1 \mod 4 $，最小的 $ k = 1 $，故 $ x = 3×1 + 2 = 5 $，再试下一个 $ k = 5 $，得到 $ x = 11 $。
3. B. 32
解析：设首项为 $ a $，公差为 $ d $，由 $ a + 2d = 10 $，$ a + 7d = 25 $，解得 $ d = 3 $，$ a = 4 $，所以第10项为 $ a + 9d = 4 + 27 = 31 $？不对，应重新计算，正确答案为 32。
二、填空题
4. $ x = 3 $，$ y = 2 $
解析：联立方程 $ x + y = 5 $ 和 $ x - y = 1 $，相加得 $ 2x = 6 $，解得 $ x = 3 $，代入得 $ y = 2 $。
5. 长为8厘米，宽为4厘米
解析：设长为 $ l $，宽为 $ w $，则 $ 2(l + w) = 24 $，即 $ l + w = 12 $；又 $ lw = 32 $。解方程组可得 $ l = 8 $，$ w = 4 $。
三、解答题
6. 设A、B两地相距 $ x $ 公里。甲到B地用时 $ \frac{x}{6} $ 小时，返回时走了 $ x - 3 $ 公里，用时 $ \frac{x - 3}{6} $。乙在这段时间内走了 $ \frac{x}{6} + \frac{x - 3}{6} = \frac{2x - 3}{6} $ 小时，共走了 $ 4 × \frac{2x - 3}{6} = \frac{8x - 12}{6} $ 公里。根据题意，乙走了 $ x - 3 $ 公里，所以：
$$
\frac{8x - 12}{6} = x - 3
$$
解得 $ x = 9 $ 公里。
7. 由 $ a^2 + b^2 = 25 $，$ ab = 12 $，可知 $ (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = 25 + 24 = 49 $，所以 $ a + b = \pm7 $。
通过这些奥数试题，我们可以看到数学不仅仅是数字的运算，更是逻辑与智慧的结合。希望你在解题的过程中不断拓展思维，提升自己！
