【15.3（分式方程同步练习人教版数学八年级上册(吉林地区适用)x-）】（吉林地区适用）
在初中数学的学习中，分式方程是一个重要的知识点，它不仅与实际问题紧密相关，而且是后续学习函数、不等式等内容的基础。本节内容主要围绕“分式方程”的基本概念、解法及应用展开，旨在帮助学生掌握如何通过设未知数、列方程、解方程来解决实际问题。
一、分式方程的基本概念
分式方程是指含有分母的方程，其中分母中含有未知数。例如：
$$
\frac{2}{x} + \frac{3}{x+1} = 1
$$
这类方程与整式方程不同，其解必须满足分母不为零的条件，否则会导致无意义的结果。
二、解分式方程的一般步骤
1. 确定分母不为零的条件：找出所有分母中可能为零的值，并排除这些值。
2. 去分母：找到所有分式的最简公分母，两边同时乘以这个公分母，将方程转化为整式方程。
3. 解整式方程：按照解一元一次或二次方程的方法进行求解。
4. 检验根的合理性：将得到的解代入原方程，检查是否使分母为零，若出现这种情况，则该解为增根，应舍去。
三、典型例题解析
例题1：解方程
$$
\frac{1}{x-2} + \frac{1}{x+2} = \frac{4}{x^2 - 4}
$$
分析：
观察分母，发现 $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$，因此最简公分母为 $(x-2)(x+2)$。
解法：
两边同时乘以 $(x-2)(x+2)$，得：
$$
(x+2) + (x-2) = 4
$$
化简得：
$$
2x = 4 \Rightarrow x = 2
$$
检验：当 $x=2$ 时，原方程中的分母 $x-2=0$，因此 $x=2$ 是增根，原方程无解。
例题2：甲、乙两人同时从A地出发前往B地，甲的速度是每小时6公里，乙的速度是每小时8公里，结果乙比甲早到半小时。求A、B两地之间的距离。
分析：
设A、B两地的距离为 $x$ 公里。
甲用时：$\frac{x}{6}$ 小时
乙用时：$\frac{x}{8}$ 小时
根据题意，有：
$$
\frac{x}{6} - \frac{x}{8} = \frac{1}{2}
$$
解法：
通分得：
$$
\frac{4x - 3x}{24} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{x}{24} = \frac{1}{2}
$$
解得：
$$
x = 12
$$
答：A、B两地相距12公里。
四、同步练习题精选
1. 解方程：
$$
\frac{3}{x} - \frac{2}{x+1} = 1
$$
2. 某工程队计划用若干天完成一项工程，如果每天多修5米，可提前3天完成；如果每天少修5米，会延迟3天完成。求原计划每天修多少米？
3. 一个水池有两个进水管和一个出水管，单独开进水管A需3小时注满，进水管B需4小时注满，出水管C需6小时排空。若同时打开A、B、C三个水管，问多少小时能注满水池？
五、小结
分式方程是初中数学的重要内容之一，掌握其解法不仅能提升解题能力，还能增强对实际问题的理解和建模能力。通过反复练习，同学们可以逐步提高解题的准确性和速度，为今后的数学学习打下坚实基础。
温馨提示：在做题过程中，注意分母不能为零，避免出现增根；同时，要善于将实际问题抽象为数学模型，灵活运用所学知识解决问题。
