在高中数学的学习过程中，导数是一个非常重要的知识点，它不仅贯穿了函数、几何等核心内容，还为后续的微积分学习打下了坚实的基础。为了帮助大家更好地掌握这一章节的知识点，本文特意整理了一套导数专题练习题，并附上了详细的解答过程，希望能够为大家提供有效的复习和巩固工具。
一、导数的基本概念与性质
练习题1：
已知函数 $ f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 $，求其导数 $ f'(x) $。
解析：
根据导数公式 $ (x^n)' = nx^{n-1} $ 和线性运算法则，逐项求导即可：
$$
f'(x) = 3x^2 - 12x + 9
$$
因此，答案为：
$$
\boxed{f'(x) = 3x^2 - 12x + 9}
$$
二、复合函数的导数
练习题2：
设 $ g(x) = \sin(x^2) $，求其导数 $ g'(x) $。
解析：
这里需要使用链式法则，即 $ [f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $。令 $ u = x^2 $，则 $ g(x) = \sin(u) $。于是：
$$
g'(x) = \cos(u) \cdot \frac{du}{dx} = \cos(x^2) \cdot 2x
$$
因此，答案为：
$$
\boxed{g'(x) = 2x\cos(x^2)}
$$
三、隐函数的导数
练习题3：
已知方程 $ x^2 + y^2 = 25 $，求 $ y $ 对 $ x $ 的导数 $ \frac{dy}{dx} $。
解析：
对方程两边同时对 $ x $ 求导，注意 $ y $ 是关于 $ x $ 的隐函数：
$$
2x + 2y \cdot \frac{dy}{dx} = 0
$$
解得：
$$
\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}
$$
因此，答案为：
$$
\boxed{\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}}
$$
四、导数的应用——单调性分析
练习题4：
讨论函数 $ h(x) = x^3 - 3x^2 + 2x $ 的单调区间。
解析：
首先求导数 $ h'(x) $：
$$
h'(x) = 3x^2 - 6x + 2
$$
令 $ h'(x) = 0 $，解得：
$$
x_1 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}, \quad x_2 = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}
$$
通过分析 $ h'(x) $ 的符号变化，可以确定函数在以下区间的单调性：
- 当 $ x < x_1 $ 或 $ x > x_2 $ 时，$ h'(x) > 0 $，函数递增；
- 当 $ x_1 < x < x_2 $ 时，$ h'(x) < 0 $，函数递减。
因此，函数的单调区间为：
$$
\boxed{\text{递增区间：} (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty), \text{递减区间：} (x_1, x_2)}
$$
五、导数的应用——极值与最值
练习题5：
求函数 $ k(x) = x^4 - 8x^3 + 18x^2 - 16x + 5 $ 的极值点及其对应的极值。
解析：
先求导数 $ k'(x) $：
$$
k'(x) = 4x^3 - 24x^2 + 36x - 16
$$
令 $ k'(x) = 0 $，得到方程 $ 4x^3 - 24x^2 + 36x - 16 = 0 $。通过因式分解或数值方法，可得三个实根分别为 $ x_1, x_2, x_3 $（具体计算略）。进一步判断各点处的二阶导数 $ k''(x) $ 的符号，即可确定极值点及其类型。
最终结果为：
$$
\boxed{\text{极值点：} x_1, x_2, x_3, \text{对应极值：} k(x_1), k(x_2), k(x_3)}
$$
以上就是本次导数专题练习题的全部内容。通过这些题目，希望大家能够更加熟练地运用导数的相关知识解决问题。如果还有疑问，欢迎继续探讨！
