在数学分析中，数列极限是一个非常重要的概念。它不仅帮助我们理解函数的行为，还为微积分奠定了基础。本章节将通过一系列习题和详细的解答来加深对数列极限的理解。

习题一：基本定义与性质

题目：

设数列 {a_n} 定义为 a_n = (3n + 5) / (2n - 7)，求其极限 lim(n→∞) a_n。

解答：

为了求解此极限，我们将分子和分母同时除以 n 的最高次幂：

\[ a_n = \frac{3n + 5}{2n - 7} = \frac{3 + \frac{5}{n}}{2 - \frac{7}{n}} \]

当 n 趋向于无穷大时，\(\frac{5}{n}\) 和 \(\frac{7}{n}\) 都趋于零。因此，

\[ \lim_{n \to \infty} a_n = \frac{3 + 0}{2 - 0} = \frac{3}{2} \]

所以，数列 {a_n} 的极限是 \(\frac{3}{2}\)。

习题二：夹逼定理的应用

题目：

证明数列 {b_n} = (-1)^n / n 的极限为零。

解答：

首先观察到对于任意正整数 n，有：

\[ -\frac{1}{n} \leq \frac{(-1)^n}{n} \leq \frac{1}{n} \]

注意到当 n 趋向于无穷大时，\(-\frac{1}{n}\) 和 \(\frac{1}{n}\) 都趋于零。根据夹逼定理，可以得出：

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n}{n} = 0 \]

习题三：递归数列的极限

题目：

已知数列 {c_n} 满足 c_1 = 1, c_{n+1} = \sqrt{c_n + 6}，求其极限。

解答：

假设该数列存在极限 L，则当 n 趋向于无穷大时，c_n 和 c_{n+1} 都趋于 L。因此，满足方程：

\[ L = \sqrt{L + 6} \]

两边平方得到：

\[ L^2 = L + 6 \]

整理得：

\[ L^2 - L - 6 = 0 \]

解这个二次方程，得到 L = 3 或 L = -2。由于数列的所有项均为正数，故排除负值。因此，数列 {c_n} 的极限为 L = 3。

以上习题展示了如何利用不同的方法计算数列的极限。通过这些练习，我们可以更好地掌握数列极限的概念及其应用。希望读者能够通过这些题目加深对极限理论的理解，并能够在实际问题中灵活运用这些知识。