在数学分析中，幂函数是一种非常基础且重要的函数类型，其形式为 f(x) = x^n，其中 n 是一个实数。幂函数的导数公式是微积分中的基本工具之一，广泛应用于科学和工程领域。本文将详细推导幂函数的导数公式。

首先，我们回顾导数的定义。函数 f(x) 在点 x 处的导数定义为：

f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h

对于幂函数 f(x) = x^n，将其代入导数定义中，得到：

f'(x) = lim(h->0) [(x+h)^n - x^n] / h

接下来，我们需要展开 (x+h)^n。根据二项式定理，有：

(x+h)^n = x^n + nx^(n-1)h + [n(n-1)/2]x^(n-2)h^2 + ...

将这个展开式代入导数表达式中，得到：

f'(x) = lim(h->0) [x^n + nx^(n-1)h + [n(n-1)/2]x^(n-2)h^2 + ... - x^n] / h

简化后，得到：

f'(x) = lim(h->0) [nx^(n-1)h + [n(n-1)/2]x^(n-2)h^2 + ...] / h

提取出 h，得到：

f'(x) = lim(h->0) [nx^(n-1) + [n(n-1)/2]x^(n-2)h + ...]

当 h 趋近于 0 时，所有含 h 的项都会消失，最终得到：

f'(x) = nx^(n-1)

因此，幂函数 f(x) = x^n 的导数公式为：

f'(x) = nx^(n-1)

这个结果表明，幂函数的导数仍然是一个幂函数，只是指数减少了 1，并且乘以了原来的指数 n。

总结来说，通过严格的极限运算和二项式展开，我们可以得出幂函数的导数公式。这一公式不仅在理论上有重要意义，而且在实际应用中也极为有用，为解决各种复杂的数学问题提供了有力工具。